En 'El País del Plano', los personajes son formas geométricas diversas que viven en un mundo exclusivamente bidimensional.
Al comienzo de nuestra historia, el narrador, un Cuadrado de mediana edad, tiene un sueño inquietante en el cual visita un reino unidimensional, el País de la Línea, cuyos habitantes sólo pueden moverse de un punto a otro. Con creciente frustración intenta explicar quien es él, una línea de líneas, proveniente de un país en el que se puede uno mover, no sólo de punto en punto, sino también de lado a lado. Los habitantes del País de la Línea, enfadados, están a punto de atacarle cuando se despierta sobresaltado.
Un poco más tarde, aquel mismo día, intenta ayudar en sus estudios a su nieto, un pequeño Hexágono. El nieto sugiere la posibilidad de una tercera dimensión, un reino en el que habría arriba y abajo, además de un lado y otro. El Cuadrado tacha esta idea de estúpida e inimaginable.
Aquella misma noche el Cuadrado tiene un encuentro extraordinario, decisivo para su vida: recibe la visita de un habitante del País del Espacio, el reino de las tres dimensiones.
Al principio, el Cuadrado se siente simplemente confundido por su visitante, un extraño círculo que parece cambiar de tamaño, e incluso desaparecer. El visitante se presenta a sí mismo como una Esfera.
Parecia cambiar de tamaño y desaparecer, tan sólo porque estaba acercándose al Cuadrado en el espacio y descendiendo al mismo tiempo.
Dándose cuenta de que sólo con argumentos no podría llegar a convencer al Cuadrado de la existencia de la tercera dimensión, la Esfera, exasperada, le introduce en una experiencia de profundidad.
El Cuadrado queda fuertemente conmocionado. Dice: 'Tenía una sensación confusa y mareante en la visión, era algo distinto que ver; veía una línea que no era una línea, y un espacio que no era espacio. Yo era y no era yo mismo al mismo tiempo. Cuando pude recobrar la voz, lancé un grito de agonía: Esto es la locura o el infierno!'. 'No es ninguna de las dos cosas', replicó serenamente la voz de la Esfera. 'Es conocimiento; son las tres dimensiones. Abre tus ojos otra vez, y trata de mirar con tranquilidad'.
Tras haber tenido esa experiencia intuitiva de la tercera dimensión, el Cuadrado se convierte en su apóstol, intentando convencer a sus conciudadanos del País del Plano de que el Espacio es algo más que sólo una noción propia de los matemáticos.
A causa de su insistencia, es finalmente encarcelado en beneficio publico. Cada año, en lo sucesivo, el sumo sacerdote del País del Plano, el Círculo Jefe, acude a tantearle para comprobar si ha recobrado su sano juicio, pero el Cuadrado continúa insistiendo testarudamente en que hay una tercera dimensión. No puede olvidarlo, aunque no es capaz de explicarlo.
